前回のあらすじ
省略
さてと、今回拡張していきたいのは前回出した文献の③。11のn乗が簡単に求められる。例えば、1-2-1（121）は11の2乗、その下の1-3-3-1(1331)は3乗、さらにその下の1-4-6-4-1(14641)は4乗。
5のときは?
1-5-10-10-5-1
は?一桁の中に二桁､、、
繰り上がりか!
10は次の位で1になるから161051になる。これはしっかり11の5乗でした。
nCrの段にある数字を右から1倍、10倍、100倍・・・10n倍したものを足すと11nになる。
証明
上の操作は nC0・10n+nC1・10n-1+・・・+nCr・10n-r+・・・+nCn・100 （①）
一方 11n=(10+1)n
これを二項定理を用いて展開すると、
nC0・10n+nC1・10n-1+・・・+nCr・10n-r+・・・+nCn・100 （②）となる。
①、②より示せた。
ここまでは文献の範囲。
今から紹介するものは実は発見したときこれ（↑）関係ない。
ある朝、目覚めと同時に（さすがに同時は嘘）ふと考えた。1Crの段の1と１を2進数で表してみようと。11(2)=3まだ何も見えません。次に、121(3)=16について。お、これは平方数です。更に1331(4)=125をかんがえると、53!?お、お、お！続いて14641(5)=何？
5進数に6は登場するなっ!!
はい、繰り上がりでなんとかすると1296ですね。
繰り上がりOKだったら何進数でもありじゃねえか!
11(3)=4、121(2)=9、14641(9)=10000、...
わかったぞ!!
nCrの段をｍ進法で表したとき、(m+1)nになる。
もう誰かしら見つけているだろうけどね。一つ言うと自力でみつけた。
証明
上の操作は nC0・mn+nC1・mn-1+・・・+nCr・mn-r+・・・+nCn・m0 （①）
一方 (m+1)nを二項定理を用いて展開すると、
nC0・mn+nC1・mn-1+・・・+nCr・mn-r+・・・+nCn・m0 （②）となる。
①、②より示せた。
よくわかったね、この証明最初に書いたやつのコピペだよ。10をmで置き換えただけ。11nは特殊なかたちだったんだね。
誰がm進法で表そうと思うんだよ!!
これ一日かかりました。
今回はこれでおしまい。
次回予告
別なパスカルの三角形やります。見つけ出したらきりがない。楽しいよ。
フラクタルは断固としてやらないからねっ!!
要望あったらやるかもね。
宿題
エクセルで書いてみてね。
私やらないけど...
