大変申し訳ございません。というのも半年以上これをほったらかしていました。パスワードを忘れてログインできなくなっていたところです。
ところでこの謝罪は誰に対してのものなんでしょうか?
ド・モアブルの公式の証明
iを虚数単位としたときに(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
というのがド・モアブルの公式ですが、これはよく数学的帰納法を用いて0以上のnについて示して、その後-nに置き換えるというやつです。
(cosθ+isinθ)-n=1/(cosnθ+isinnθ)
=cosnθ-sinnθ=cos(-nθ)+isin(-nθ)
みたいにしてやるやつですよね。
今回は正も負もまとめて数学的帰納法でやっちゃいたいと思います。
①n=0のとき（中略）で成り立つ
②n=kのときも成り立つとする
(ｱ)n=k+1のとき（中略）
(ｲ)n=k-1のとき、(cosθ+isinθ)k-1=(coskθ+isinkθ)/(cosθ+isinθ)=(coskθcosθ+sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ-sinθcoskθ)=cos(k-1)θ+isin(k-1)θとなる
①②よりすべての整数nに対してド・モアブルの公式は成り立つ
こんなふうに正と負で一緒にやってしまおうというやつです。まぁこの場合はnを-nで置いてしまったほうが早いんですけどね。（オチなし）
