数学小発見（不定期）

計算が出来ないただの数学好きがふと発見したことを記録するためのブログです

パスカルの三角形<3>

続いては⑥の拡張。

pを素数とするときpCr(0<r<p)はpの倍数である。

証明書く気ないので宿題にしまーす。

 

 

 

私が見つけたやつ

pnCr(0<r<pn)はpの倍数である。 

証明

書くのが面倒くさいので方針だけ記しておきます。

  1. r=pmkとおく。（m<n,kとpは互いに素）
  2. pn-1Cr-1を独立させ、pnとpmkを約分する。
  3. 分母のkは約分されるがpとkは互いに素である。
  4. pn-m はのこる。n-m>0より証明完了ヒャッホー。

以上です。文句ある人いますか。

 

 

 

 

誰も見てなかった... 

 

 

次回予告

飽きたので別なやつやります。

パスカルの三角形<2>

 

前回のあらすじ

省略

 

さてと、今回拡張していきたいのは前回出した文献の③。11のn乗が簡単に求められる。例えば、1-2-1（121）は11の2乗、その下の1-3-3-1(1331)は3乗、さらにその下の1-4-6-4-1(14641)は4乗。

 

5のときは?

1-5-10-10-5-1

は?一桁の中に二桁､、、

繰り上がりか!

10は次の位で1になるから161051になる。これはしっかり11の5乗でした。

 

nCrの段にある数字を右から1倍、10倍、100倍・・・10n倍したものを足すと11nになる。

証明

上の操作は　nC0・10n+nC1・10n-1+・・・+nCr・10n-r+・・・+nCn・100　（①）
一方 11n=(10+1)n
これを二項定理を用いて展開すると、
nC0・10n+nC1・10n-1+・・・+nCr・10n-r+・・・+nCn・100　（②）となる。 
①、②より示せた。

 

ここまでは文献の範囲。

 

今から紹介するものは実は発見したときこれ（↑）関係ない。

ある朝、目覚めと同時に（さすがに同時は嘘）ふと考えた。1Crの段の1と１を2進数で表してみようと。11(2)=3まだ何も見えません。次に、121(3)=16について。お、これは平方数です。更に1331(4)=125をかんがえると、53!?お、お、お！続いて14641(5)=何？

5進数に6は登場するなっ!!

はい、繰り上がりでなんとかすると1296ですね。

繰り上がりOKだったら何進数でもありじゃねえか!

11(3)=4、121(2)=9、14641(9)=10000、... 

わかったぞ!!

nCrの段をｍ進法で表したとき、(m+1)nになる。

もう誰かしら見つけているだろうけどね。一つ言うと自力でみつけた。

 

証明

上の操作は　nC0・mn+nC1・mn-1+・・・+nCr・mn-r+・・・+nCn・m0　（①）
一方 (m+1)nを二項定理を用いて展開すると、
nC0・mn+nC1・mn-1+・・・+nCr・mn-r+・・・+nCn・m0　（②）となる。 
①、②より示せた。

 

よくわかったね、この証明最初に書いたやつのコピペだよ。10をmで置き換えただけ。11nは特殊なかたちだったんだね。

誰がm進法で表そうと思うんだよ!!

 これ一日かかりました。

 

今回はこれでおしまい。

次回予告

別なパスカルの三角形やります。見つけ出したらきりがない。楽しいよ。

フラクタルは断固としてやらないからねっ!!

要望あったらやるかもね。

 

 

宿題

エクセルで書いてみてね。

 

 

 

私やらないけど...

パスカルの三角形<1>

数学といえばパスカルの三角形ですよね!

というか初回なのでスペシャルな感じで。初回で図形は嫌でしょ。

さ、まずはパスカルの三角形について説明しますね。

えっと

えっと

面倒くせえ

 

説明してくれているサイトいっぱいあるのではっときまーす(笑)

http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00065

まぁこれを知っとけばいいでしょう。二項係数云々は置いといて足し算だけで作れるので小学生でも作れます。暇な人20ぐらいまでやってみてください。

 

Excelでやれば簡単だよ～

 

 

続いて紹介するのはこちら

http://www1.lib.kanazawa-u.ac.jp/en/recordID/handle/2297/47670?hit=-1&caller=xc-search

今回はここから拡張していきます!

次回へ続く

予告

フラクタルはやりませんよ

 

追記:記事に関係ない質問でも受け付けますよ。いくつか溜まったら記事にします。このブログの程度に合わせて高校数学の範囲まで対応します。

 

お楽しみに。ではまた。

開設にあたって

数学が好きな人は世の中にごまんといます。その中で数学が本当にできる人も星の数ほど。長い歴史で見てみると大発見の数々、その度に科学は大きく進歩してきました。私もそれを紡ぐ一人になりたかった。

でも私には少々の才能しかないのです。

そこで

小発見をこのブログに記すことにしました。

私の薄才故大して続きもしないかもしれませんが何卒よろしくお願いします。